OpenFacetは、観測可能な市場データを使用して、滑らかで説明可能なダイヤモンド価格マトリックスを構築するための透明なフレームワークです。カラット・カラー・クラリティの構造化されたタプルに対する対数線形回帰に基づき、価格の勾配を捉え、関連性のないまたは信頼性の低いデータを除外します。

主な原則：

• GIA¹認定のラウンドダイヤモンド、3EX²（カット、ポリッシュ、シンメトリー）、蛍光なし
• 業界標準のカラット帯ごとのモデル粒度（例：0.30～0.39ct）
• カラット帯全体での対数空間スムージングによる価格の補間
• 観測可能な公開小売価格の最安値を基準とした競争力のある価格下限
• 再構築されたマトリックスは単調性制約³に従う（より優れたグレードが低価格であってはならない）

DCXコンポジットは、小売ダイヤモンド価格、アルゴリズム戦略、合成資産評価、定量的市場分析のためのベンチマークを提供します。

データソース

価格は、トップティアのオンライン小売業者が提供する在庫から収集されます。ソースは以下を満たす必要があります：

• 完全なGIA詳細（カット、カラー、クラリティ、カラット、証明書ID）を持つ小売グレードのSKUを公開
• ライブまたは頻繁に更新される価格を提供

一貫性のない価格設定、積極的なキャッシュ、またはGIA以外の認証基準を持つサプライヤーは除外されます。

価格選択ロジック

非代表的な外れ値を避けるため、特定のクラリティグレード（FL～VS1：2番目、VS2～SI2：3番目）に対して、カラットあたりの2番目または3番目の最低価格を選択します。これは市場行動に基づいており、カラットあたりの最安価格は非典型的な石やリスティングエラーを反映する可能性があるためです。この方法は、競争力があり安定した小売価格を確保し、アクセシビリティと価格の整合性をバランスさせます。

必要なカラー・クラリティの組み合わせが現在の観測ウィンドウでリストがない場合、システムは過去のリスティング（最大5日前）を参照する制限付き履歴検索を適用し、選択ルールを満たす有効な価格を見つけます。このアプローチは、BCOMなどの金融インデックスで使用される最後の観測値繰越技術に似ており、人工的なスムージングや推定を導入せずにマトリックス構築の連続性を確保します。この段階では公開価格のみが考慮され、補間や合成価格は使用されません。フィルタリングされた価格セットは、マトリックス再構築ロジックに渡されます。

価格マトリックス再構築

各カラット帯に対して、カラー×クラリティの完全な価格マトリックスを対数線形回帰モデルを使用して再構築します。小売リスティングは不完全で、特に需要の低いセグメントでは多くのカラー/クラリティの組み合わせに最近のオファーがありません。

固定されたカラット帯内で、ダイヤモンドの対数価格 $\log(p)$ はカラーとクラリティに応じて滑らかに変化すると仮定します。各既知のサンプルは以下のようにエンコードされます：

• $i$：数値カラーインデックス（D=0, E=1, …, J=6）
• $j$：数値クラリティインデックス（IF=0, VVS1=1, …, SI2=6）
• $y = \log(p)$：対数変換されたオファー価格

以下のようなモデルをフィットさせます：

$$ \log(p_{i,j}) = \beta_0 + \beta_1 \cdot (i - \bar{i}) + \beta_2 \cdot (q_j - \bar{q}) $$

ここで：

• $\bar{i}, \bar{q}$：中心化されたインデックス（カラー、逆クラリティ）
• $q_j$：クラリティ品質スコア（IF → 高 → 大きな $q$）
• $\beta_0, \beta_1, \beta_2$：最小二乗法による回帰係数

カラーとクラリティの影響を分離するため、GIAエクセレントカットに限定します。

非線形残差調整

データ密度が十分な場合、**ALS⁴（交互最小二乗法）**を使用した2段階目の補正を適用します。これは、実際の対数価格と初期回帰の間の残差に低ランクモデルをフィットさせ、初期回帰で見逃された非線形効果を捉えます。これにより、モデルの解釈可能性を損なうことなくローカルフィットを改善します。

このハイブリッドアプローチは、安定し、滑らかで、データに整合した価格表面を生成し、さらなるモデリングに適しています。

カラット間スムージングと単調性確保

各カラット帯のアンカーマトリックス（対数線形回帰とALSによる）が構築された後、カラット値全体で2段階目のスムージングパスを適用します。これにより、隣接する帯間の整合性が向上し、サンプリングノイズや不規則なリスティングによるカラットあたりの価格反転を補正します。

2つの連続した変換を実装します：

カーネルスムージング（カラット間）

各カラー・クラリティセル $(i, j)$ に対して、対数空間でのガウス加重平均を使用してカラット間で価格をスムージングします：

$$ \log P_c^{(i,j)} = \frac{\sum_k K(c, c_k) \cdot \log P_{c_k}^{(i,j)}}{\sum_k K(c, c_k)} \quad \text{ここで} \quad K(c, c_k) = \exp\left(-\frac{(c - c_k)^2}{2\sigma^2}\right) $$

ここで：

• $c_k$：アンカーカラット帯（例：0.30、0.40、…, 6.00）
• $\sigma$：スムージング帯域幅、通常0.10ct
• $P_{c_k}^{(i,j)}$：カラット $c_k$、カラー $i$、クラリティ $j$ での対数価格推定

これにより、カラット閾値（例：0.99対1.00ct）の滑らかな移行が確保され、ローカル異常が抑制されます。

単調回帰（セルごと）

スムージング後、各 $(i,j)$ セルに対してカラットごとの単調性を確保します：

$$ \log P_{c_1}^{(i,j)} \leq \log P_{c_2}^{(i,j)} \leq \cdots $$

これは**アイソトニック回帰を介した隣接違反者プールアルゴリズム（PAVA）**を使用して行われます。これにより、カラット全体で対数価格の非減少シーケンスが保証されます。

同一グレードのより軽いダイヤモンドはより重いものからカット可能であるため、カラットあたりの価格は重量増加に伴い減少してはなりません。

丸めアーティファクトやカーネル副作用に対する保護として、最終的な厳密なクランプパスを適用します。もし：

$$ \log P_{c_k}^{(i,j)} < \log P_{c_{k-1}}^{(i,j)} $$

であれば、強制的に $P_{c_k}^{(i,j)} := P_{c_{k-1}}^{(i,j)}$ と設定します。

価格補間モデル

価格は、カラット、カラー、クラリティの滑らかで対数変換された関数として扱います。ダイヤモンド価格の非線形性、特にカラット重量に関して、システムは単純な線形平均ではなく、価格空間での対数線形補間を使用します。

標準化された価格マトリックスは、業界のカラット帯（例：0.30～0.39 ct、0.40～0.49 ct、…, 2.0～2.99 ct）ごとに計算され、それぞれがカラー（D～J）とクラリティ（IF～SI2）のマトリックスとして構造化されます。

帯域 $[c_1, c_2]$ 内の任意の中間カラット値 $c$ でマトリックスを補間するため、2つのアンカーマトリックス $P_1$ と $P_2$ の間で幾何学的補間を適用します：

$$ P_c(i,j) = \exp\left((1 - \lambda) \cdot \log P_1(i,j) + \lambda \cdot \log P_2(i,j)\right) $$

ここで：

• $P_c(i,j)$：カラット $c$、カラー $i$、クラリティ $j$ での補間価格
• $P_1, P_2$：$c_1, c_2$ での参照価格マトリックス
• $\lambda = \frac{c - c_1}{c_2 - c_1}$
• $i, j$：カラーとクラリティのインデックス
• すべての補間は、市場行動の乗算スケーリングを反映するために対数空間で行われます

この方法は、供給制約を反映した価格を保証します：より高いカラット重量は、単なる総重量価格だけでなく、希少性効果によりカラットあたりの価格を増加させます。

補間されたマトリックスは、視覚的表示、分析モデリング、インデックス構築（例：ダイヤモンドコンポジットインデックス）に使用されます。公開されるのは、公開小売データに基づく滑らかで対数変換された出力のみです。

DCX：ダイヤモンドコンポジットインデックス

DCXは、OpenFacetマトリックスから派生した合成価格インデックスで、ベンチマークおよび金融用途のために小売レベルのダイヤモンド価格トレンドを追跡するように設計されています。

視覚化に関する注意： 視覚的表示（例：棒グラフ）に示される仕様の貢献度は、純粋な加重ドル価値に基づいています： カラット × カラットあたりの価格 × ウェイト、最大の貢献者に対してスケーリングされます。 これは、滑らかで補間されたカラットあたりの価格と正規化されたウェイトを使用するDCX計算とは異なります。

インデックスの理論的根拠：商品インデックス（例：BCOM）が取引所で取引される先物の算術平均を使用するのに対し、DCXはジェボンス型消費者物価インデックスに似た幾何平均構成に従います。これは、品質やカラット重量の増加が加算ではなく乗算されるダイヤモンド価格の乗算的性質を反映します。対数–指数形式は、外れ値への感度を軽減し、価格のばらつきが大きい仕様間でより滑らかでスケール一貫性のある動作を保証します。

構築メソドロジー：

• ベンチマークバスケット：仕様数はインデックスの安定性と市場変動への感度をバランスさせ、四半期ごとに更新されます。
• ウェイト：推定グローバルボリューム × 価格売上高によって割り当てられ、定期的にリバランスされます。
• 価格ソース：各仕様は、カラット、カラー、クラリティのユニークな組み合わせを参照します（GIAグレーディング、3EX、蛍光なしを想定）。

インデックスは、カラットあたりの価格の加重幾何平均として計算されます：

$$ DCX_t = \exp\left( \frac{\sum w_i \cdot \log P_{i,t}}{\sum w_i} \right) $$

ここで、$P_{i,t}$ は時刻 t での仕様 i の推定カラットあたり価格、$w_i$ はそのウェイトです。

この形式は、仕様の売上高で重み付けされた補間されたカラットあたりの価格の幾何平均を計算します。幾何平均は外れ値の影響を軽減し、グレードやサイズ全体でのダイヤモンド価格の乗算的動作に整合します。

この構成は以下を保証します：

• 外れ値への耐性（対数平均はスパイクを平滑化）
• カラット、カラー、クラリティの範囲にわたる代表性
• 金融または合成資産決済のユースケースに対する解釈可能性

DCXは、公開された小売価格のみを使用して構築されたマトリックスに依存します。ラボグロウンまたは非認証の石は含まれません。DCXは毎日再計算され、仕様レベルの完全な透明性とともに公開されます。