OpenFacet 是一個透明的框架，用於基於可觀察的市場數據構建平滑、可解釋的鑽石價格矩陣。它依賴於對結構化克拉–顏色–淨度元組的對數線性回歸，捕捉價格梯度，同時排除不相關或不可靠的數據。

核心原則：

• GIA¹ 認證的圓形鑽石，3EX²（切工、拋光、對稱性），無螢光
• 按行業標準克拉區間（例如 0.30–0.39 克拉）進行模型粒度劃分
• 通過克拉區間的對數空間平滑進行價格插值
• 以可觀察的最低公開零售價格為基準的競爭性價格下限
• 重構的矩陣遵循單調性約束³（更高級別的鑽石價格不應低於低級別）

DCX 綜合指數為零售鑽石定價、算法策略、合成資產估值和定量市場分析提供基準。

數據來源

價格數據從頂級線上零售商提供的庫存中收集。數據來源必須：

• 發布包含完整 GIA 細節（切工、顏色、淨度、克拉、證書 ID）的零售級 SKU
• 提供實時或頻繁更新的價格

我們排除價格不一致、激進快取或非 GIA 認證標準的供應商。

價格選擇邏輯

為避免非代表性的異常值，我們根據市場行為選擇特定淨度等級（FL–VS1：第二低；VS2–SI2：第三低）的每克拉第二或第三低價格，因為每克拉最低價格可能反映非典型鑽石或列表錯誤。此方法確保具有競爭力的穩定零售價格，平衡可訪問性和價格完整性。

當當前觀察窗口內缺少所需的顏色–淨度組合時，系統會應用有限的歷史回溯，查詢過去（最多五天前）的列表以找到符合選擇規則的有效價格。這種方法類似於金融指數（如 BCOM）中使用的最後觀察值前推技術，確保矩陣構建的連續性，而不引入人工平滑或估計。在此階段僅考慮公開列出的價格，不使用插值或合成價格。過濾後的價格集隨後傳遞到矩陣重構邏輯。

價格矩陣重構

對於每個克拉區間，我們使用對數線性回歸模型重構完整的顏色 × 淨度價格矩陣。零售列表不完整，許多顏色/淨度組合在低需求細分市場中沒有近期報價。

我們假設在固定克拉區間內，鑽石對數價格 $\log(p)$ 隨顏色和淨度平滑變化。每個已知樣本編碼為：

• $i$：顏色數值索引（D=0, E=1, …, J=6）
• $j$：淨度數值索引（IF=0, VVS1=1, …, SI2=6）
• $y = \log(p)$：對數轉換的報價

我們擬合以下形式的模型：

$$ \log(p_{i,j}) = \beta_0 + \beta_1 \cdot (i - \bar{i}) + \beta_2 \cdot (q_j - \bar{q}) $$

其中：

• $\bar{i}, \bar{q}$：中心化的索引（顏色、反向淨度）
• $q_j$：淨度質量分數（IF → 高 → 較大 $q$）
• $\beta_0, \beta_1, \beta_2$：通過最小二乘法獲得的回歸係數

我們僅限於 GIA 優秀切工的鑽石，以隔離顏色和淨度的影響。

非線性殞差調整

在數據密度足夠的情況下，我們應用第二階段校正，使用ALS⁴（交替最小二乘法）。這將低秩模型擬合到實際對數價格與初始回歸之間的殞差，捕捉初始回歸忽略的非線性效應。這提高了局部擬合的準確性，同時不損害模型的可解釋性。

這種混合方法生成穩定、平滑且與數據對齊的價格表面，適用於進一步建模。

跨克拉平滑與單調性強制

在為每個克拉區間構建錨點矩陣（通過對數線性回歸和 ALS）後，我們應用第二階段平滑，跨越克拉值。這提高了相鄰區間的一致性，並校正採樣噪聲或不規則列表可能導致的每克拉價格反轉。

我們實現兩個連續轉換：

核平滑（跨克拉）

對於每個顏色–淨度單元 $(i, j)$，我們使用對數空間中的高斯加權平均對克拉進行價格平滑：

$$ \log P_c^{(i,j)} = \frac{\sum_k K(c, c_k) \cdot \log P_{c_k}^{(i,j)}}{\sum_k K(c, c_k)} \quad \text{其中} \quad K(c, c_k) = \exp\left(-\frac{(c - c_k)^2}{2\sigma^2}\right) $$

其中：

• $c_k$：錨點克拉區間（例如 0.30、0.40、…, 6.00）
• $\sigma$：平滑帶寬，通常為 0.10 克拉
• $P_{c_k}^{(i,j)}$：在克拉 $c_k$、顏色 $i$、淨度 $j$ 處的對數價格估計

這確保了克拉閾值（例如 0.99 與 1.00 克拉）的平滑過渡並抑制局部異常。

單調回歸（按單元）

平滑後，我們對每個 $(i,j)$ 單元強制執行克拉方向的單調性：

$$ \log P_{c_1}^{(i,j)} \leq \log P_{c_2}^{(i,j)} \leq \cdots $$

這通過**等序回歸（PAVA 算法）**實現，保證了對數價格在克拉上的非遞減序列。

由於較輕的鑽石可以從相同等級的較重鑽石切割，每克拉價格不得隨重量增加而減少。

為防止捨入偽影或核副作用，我們應用最終的嚴格限制。如果：

$$ \log P_{c_k}^{(i,j)} < \log P_{c_{k-1}}^{(i,j)} $$

我們強制設置 $P_{c_k}^{(i,j)} := P_{c_{k-1}}^{(i,j)}$。

價格插值模型

我們將價格視為克拉、顏色和淨度的平滑對數轉換函數。由於鑽石定價的非線性特性（特別是克拉重量），我們的系統使用價格空間中的對數線性插值，而不是簡單的線性平均。

標準化價格矩陣為每個行業克拉區間（例如 0.30–0.39 克拉、0.40–0.49 克拉、…, 2.0–2.99 克拉）計算，結構化為顏色（D–J）和淨度（IF–SI2）的矩陣。

對於區間 $[c_1, c_2]$ 內的任意中間克拉值 $c$，我們應用兩個錨點矩陣 $P_1$ 和 $P_2$ 之間的幾何插值：

$$ P_c(i,j) = \exp\left((1 - \lambda) \cdot \log P_1(i,j) + \lambda \cdot \log P_2(i,j)\right) $$

其中：

• $P_c(i,j)$：在克拉 $c$、顏色 $i$、淨度 $j$ 處的插值價格
• $P_1, P_2$：在 $c_1, c_2$ 處的參考價格矩陣
• $\lambda = \frac{c - c_1}{c_2 - c_1}$
• $i, j$：顏色和淨度索引
• 所有插值在對數空間中進行，以反映市場行為的乘法縮放

此方法確保價格反映現實世界的供應約束：更高的克拉重量由於稀有性效應而增加每克拉價格，而不僅僅是總重量定價。

插值矩陣用於可視化顯示、分析建模和指數構建（例如鑽石綜合指數）。僅發布基於公開零售數據的平滑、對數轉換輸出。

DCX：鑽石綜合指數

DCX 是從 OpenFacet 矩陣派生的合成價格指數，旨在追蹤零售級鑽石價格趨勢，用於基準和金融用途。

可視化說明： 可視化顯示（例如柱狀圖）中所示的規格貢獻基於原始加權美元價值： 克拉 × 每克拉價格 × 權重，相對於最大貢獻者進行縮放。 這與 DCX 計算不同，後者使用平滑、插值的每克拉價格和歸一化權重。

指數原理：與使用交易所交易期貨算術平均的商品指數（例如 BCOM）不同，DCX 遵循類似於傑文斯式消費者價格指數的幾何平均構造。這反映了鑽石定價的乘法性質，其中質量或克拉重量的增加是乘法而非加法。對數–指數公式還減輕了異常值敏感性，並確保在價格差異大的規格中具有更平滑、尺度一致的行為。

構建方法論：

• 基準籃子：規格數量平衡指數穩定性與市場變化的敏感性；每季度更新。
• 權重：根據估計的全球交易量 × 價格周轉量分配；定期重新平衡。
• 價格來源：每個規格指代克拉、顏色和淨度的唯一組合（假設 GIA 分級、3EX、無螢光）。

指數計算為每克拉價格的加權幾何平均：

$$ DCX_t = \exp\left( \frac{\sum w_i \cdot \log P_{i,t}}{\sum w_i} \right) $$

其中 $P_{i,t}$ 是時間 t 時規格 i 的估計每克拉價格，$w_i$ 是其權重。

此公式計算插值的每克拉價格的幾何平均值，按規格周轉量加權。幾何平均值減少了異常值的影響，並與鑽石定價在等級和尺寸上的乘法行為保持一致。

此構造確保：

• 抗異常值（對數平均平滑峰值）
• 覆蓋克拉、顏色、淨度範圍的代表性
• 可用於金融或合成資產結算的解釋性

DCX 僅依賴於使用公開零售價格構建的矩陣。不包括實驗室培育或未認證的鑽石。DCX 每日重新計算，並以完全規格級透明度發布。